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六合图库助手下载:2018屆高三數學(理)二輪復習課件:第1部分 專題2 第3講 平面向量

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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 考點二  平面向量的數量積 方法結論 題組突破 考點二  平面向量的數量積 題組突破 考點二  平面向量的數量積 題組突破 考點二  平面向量的數量積 題組突破 考點二  平面向量的數量積 誤區警示 考點二  平面向量的數量積 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 類題通法 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 演練沖關 演練沖關 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 演練通關 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 類題通法 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 演練通關 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 演練通關 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 類題通法 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 演練通關 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 演練通關 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 類題通法 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 演練通關 考點三  平面向量與其他知識的交匯問題 * * * * * * * * * * * * 專題二  三角函數、平面向量  第三講 平面向量 熱點聚焦  題型突破 限時規范訓練 高考體驗  真題自檢 目  錄 ONTENTS 考情分析 1 考情分析 1 真題自檢 2 D  2 真題自檢 A  2 真題自檢 A  2 真題自檢 B 2 真題自檢 2 真題自檢 2 真題自檢 方法結論 考點一   平面向量的概念及線性運算 方法結論 考點一   平面向量的概念及線性運算 題組突破 考點一   平面向量的概念及線性運算 題組突破 考點一   平面向量的概念及線性運算 題組突破 考點一   平面向量的概念及線性運算 題組突破 考點一   平面向量的概念及線性運算 題組突破 考點一   平面向量的概念及線性運算 題組突破 考點一   平面向量的概念及線性運算 題組突破 考點一   平面向量的概念及線性運算 誤區警示 考點一   平面向量的概念及線性運算 考點二  平面向量的數量積 方法結論 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1.(2016·高考全國卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,則m=(  )
A.-8     	B.-6
C.6 	D.8
解析:法一:因為a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因為(a+b)b,所以(a+b)·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.
法二:因為(a+b)b,所以(a+b)·b=0,即a·b+b2=3-2m+32+(-2)2=16-2m=0,解得m=8.
2.(2016·高考全國卷)已知向量=,=,則ABC=(  )
A.30° B.45°C.60° D.120°
解析:因為=,=,
所以·=+=.
又因為·=||||cosABC=1×1×cosABC=,
所以cosABC=.又0°≤ABC≤180°,所以ABC=30°.
3.(2015·高考全國卷)設D為ABC所在平面內一點,=3,則(  )
A.=-+B.=-
C.=+D.=-
解析:=+=+=+(-)=-=-+AC.
4.(2017·高考全國卷)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則·(+)的最小值是(  )
A.-2 B.-C.- 	D.-1
5.(2017·高考全國卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ +μ ,則λ+μ的最大值為(  )
A.3 	B.2
C. 	D.2
解析:以A為坐標原點,AB,AD所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直線BD的方程為2x+y-2=0,點C到直線BD的距離為=,圓C:(x-1)2+(y-2)2=,因為P在圓C上,所以P,=(1,0),=(0,2),=λ +μ =(λ,2μ),所以
λ+μ=2+cos θ+sin θ=2+sin(θ+φ)≤3,tan φ=2,選A.
答案:A
6.(2017·高考全國卷)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=__________.
解析:易知|a+2b|
=
= =2.
2
1.在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”,結果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量;在用三角形減法法則時要保證“同起點”,結果向量的方向是指向被減向量.
2.利用平面向量基本定理實現了平面內任一向量都可以表示為同一平面內兩個不共線的向量e1,e2的線性組合λ1e1+λ2e2,常用方法有兩種:一是直接利用三角形法則與平行四邊形法則及向量共線定理來破解;二是利用待定系數法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程組求解.
1.如圖,在OAB中,點B關于點A的對稱點為C,D在線段OB上,且OD=2DB,DC和OA相交于點E.若=λ,則λ=(  )

A.    B.C.  	    D.
解析:通解:設=a,=b,由題意得=-=+-=+-=2a-b.因為=λ=λa,設=μ=2μa-μb,又=+,所以λa=b+2μa-μb=2μa+b,所以
,所以λ=.
優解:由題意知,AB=AC,OD=2DB,過點A作AFOB交CD于點F,則==,即AF=BD=OD,故AE=OE,則OE=OA,又=λ,故λ=.
答案:C
2.如圖,在正方形ABCD中,M,N分別是BC,CD的中點,若=λ+μ,則λ+μ=(  )

A.2  B.
C.  	D.
解析:通解:以AB,AD所在直線分別為x軸,y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,設正方形的邊長為1,則=(1,),=(-,1),=(1,1),=λ+μ=(λ-μ,+μ),
,解得,λ+μ=,故選D.
優解:由=+,=-+,得=λ+μ=(λ-)+(+μ),又=+,
,解得,λ+μ=,故選D.
答案:D
3.已知平面向量a=(2,1),c=(1,-1).若向量b滿足(a-b)c,(a+c)b,則b=(  )
A.(2,1) 	B.(1,2)
C.(3,0) 	D.(0,3)

通解:設b=(x,y),則a-b=(2-x,1-y),a+c=(3,0),由(a-b)c可得,-(2-x)-(1-y)=0,即x+y-3=0.由(a+c)b可得,3x=0,則x=0,y=3,選D.
優解:因為a+c=(3,0),且(a+c)b,逐個驗證選項可知,選D.

D
在運用向量共線定理時,向量a與b共線存在實數λ保持a=λb成立的前提條件是b≠0.
1.平面向量的數量積的運算的兩種形式
(1)依據模和夾角計算,要注意確定這兩個向量的夾角,如夾角不易求或者不可求,可通過選擇易求夾角和模的基底進行轉化;
(2)利用坐標來計算,向量的平行和垂直都可以轉化為坐標滿足的等式,從而應用方程思想解決問題,化形為數,使向量問題數字化.
2.夾角公式
cos θ==.
3.模
|a|==.
4.向量a與b垂直a·b=0.
依題意得|a|=1,a·b=1××cos 45°=1,|d|===1,c·d=a2-b2=-1,因此c在d方向上的投影等于=-1,選D.
1.(2017·洛陽模擬)已知向量a=(1,0),|b|=,a與b的夾角為45°.若c=a+b,d=a-b,則c在d方向上的投影為(  )
A.      	B.-
C.1 	D.-1

D




A

2.如圖,AOB為直角三角形,OA=1,OB=2,C為斜邊AB的中點,P為線段OC的中點,則·=(  )

A.1  B.
C. 	D.-

通解:因為AOB為直角三角形,OA=1,OB=2,C為斜邊AB的中點,所以=+,所以==(+),則=-=-,所以·=(-3)·(+)=(2-32)=.
優解:以O為原點,的方向為x軸正方向,的方向為y軸正方向建立平面直角坐標系(圖略),則A(0,1),B(2,0),C,所以==,=,故·=×=.




B
3.(2016·珠海摸底)已知|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,則向量a與b的夾角為(  )
A.30° 	B.45°
C.60° 	D.120°

通解:設a與b的夾角為θ,由已知可得a2+2a·b+b2=3(a2-2a·b+b2),即4a·b=a2+b2,因為|a|=|b|,所以a·b=a2,所以cos θ==,θ=60°,選C.
優解:由|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|可構造邊長為|a|=|b|=1的菱形,如圖,則|a+b|與|a-b|分別表示兩條對角線的長,且|a+b|=,|a-b|=1,故a與b的夾角為60°,選C.




C
4.已知在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A(1,0),B(0,-),C(-3,0),動點P滿足||=1,則|++|的最小值是________.

通解:由||=1得點P(x,y)的軌跡方程為(x+3)2+y2=1,又=(1,0),=(0,-),=(x,y),故++=(1+x,y-),|++|的幾何意義是點M(-1,)與圓(x+3)2+y2=1上的點之間的距離.||==,由數形結合可知|++|的最小值即為點M(-1,)到圓(x+3)2+y2=1上的點的最短距離,故|++|的最小值為-1.
優解:動點P的軌跡為以C為圓心的單位圓,設P(cos θ-3,sin θ)(θ[0,2π)),則|++|==
=,其中tan φ=,所以|++|的最小值為=-1.



-1
1.在解決平面向量的數量積問題中的注意點
(1)兩個向量的夾角的定義;(2)兩個向量的夾角的范圍;(3)平面向量的數量積的幾何意義;(4)向量的數量積的運算及其性質等.
2.向量的數量積運算需要注意的問題
a·b=0時得不到a=0或b=0,根據平面向量數量積的性質有|a|2=a2,但|a·b|≤|a|·|b|.
平面向量具有代數形式與幾何形式的“雙重型”,常與三角函數、解三角形、平面解析幾何、函數、不等式等知識交匯命題,平面向量的“位置”:一是作為解決問題的工具,二是通過運算作為命題條件.
交匯點一 平面向量與三角、解三角形的交匯
[典例1] (2016·青島二中模擬)已知a,b,c分別是ABC的內角A,B,C所對的邊,向量m=(sin A,sin B),n=(sin C,sin A),且mn.
(1)若cos A=,b+c=6,求ABC的面積;
(2)求sin B的取值范圍.

因為mn,所以sin2 A=sin Bsin C,結合正弦定理可得a2=bc.
(1)因為cos A=,所以=,即=,解得bc=9.從而ABC的面積SABC=bcsin A=×9×=,故ABC的面積為.
(2)因為a2=bc,所以cos A==≥=(當且僅當b=c時,取等號).因為00),設函數f(x)=a·b的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求函數f(x)在上的單調區間.

(1)由題意知,f(x)=a·b=cos2 ωx-1+sin ωx·cos ωx=cos 2ωx+sin 2ωx-=sin-,因為函數f(x)的最小正周期為π,所以=π,解得ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin-,當x時,2x+,所以當2x+,即x時,函數f(x)單調遞增;當2x+,即x時,函數f(x)單調遞減.
交匯點二 平面向量與“簡單線性規劃”相交匯
[典例2] 已知x,y滿足若向量=(1,2),=(x,y),則z=·的最大值為(  )
A.0 	B.1
C. 	D.2

原不等式組所表示的可行域為如圖所示的陰影部分(包括邊界),因為向量=(1,2),=(x,y),所以z=·=x+2y.當目標函數z=x+2y過點(0,1)時,z=x+2y取得最大值zmax=0+2×1=2.故選D.

D
解決平面向量與“簡單線性規劃”相交匯題的常用方法是“轉化法和數形結合法”,即先利用平面向量數量積的坐標表示,把平面向量問題轉化為求線性目標函數問題;再借用圖形,判斷可行域;最后通過平移目標函數圖象,求其最值.
3.已知變量x,y滿足約束條件若向量=(x,-1),=(2,y),則·的最小值等于(  )
A.- 	B.-2
C.- 	D.2

約束條件所表示的可行域為如圖所示的陰影部分(包括邊界),因為向量=(x,-1),=(2,y),所以z=·=2x-y.當z=2x-y過點A(-1,)時,z=2x-y取得最小值,且zmin=2×(-1)-=-.故選A.

A
交匯點三 平面向量與“充分必要條件”相交匯
[典例3] (2015·高考北京卷)設a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“ab”的(  )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件

設向量a,b的夾角為θ,則a·b=|a|·|b|cos θ.若a·b=|a||b|,則cos θ=1,因為θ[0,π],所以θ=0,所以ab,即“a·b=|a||b|”“a∥b”;若ab,則θ=0或θ=π,所以a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”“ab”,故“a·b=|a||b|”是“ab”的充分而不必要條件.故選A.

A

平面向量與“充分必要條件”相交匯問題的破解方法:“以小推大法”,即準確理解充分條件、必要條件及充要條件的含義,利用平面向量的有關概念、公式、定理(有時要利用數形結合思想)等,判斷小范圍和大范圍之間的關系.
4.已知直線m,n的方向向量分別為a,b,則“mn”是“ab”的(  )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

m∥n?a∥b;反之,當ab時,直線m,n可能重合,所以“mn”是“ab”的充分不必要條件.故選A.

A

交匯點四 平面向量與解析幾何相交匯
[典例4] (2017·大慶質檢)設F1,F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點,若橢圓上存在一點P,使(+)·=0(O為坐標原點),則F1PF2的面積是(  )
A.4 	B.3
C.2 	D.1

∵(+)·=(+)·2=·=0,PF1⊥PF2,F1PF2=90°.設|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,S△F1PF2=mn=1,故選D.

D
破解平面向量與“解析幾何”相交匯問題的常用方法有兩種:一是“轉化法”,即把平面向量問題轉化為解析幾何問題,利用平面向量的數量積、共線、垂直等的坐標表示進行轉化,再利用解析幾何的相關知識給予破解;二是“特值法”,若是選擇題,??捎萌√厥庵檔姆椒ɡ純燜倨平猓?

5.(2017·廣州模擬)已知以F為焦點的拋物線y2=4x上的兩點A,B滿足=2,則弦AB的中點到拋物線準線的距離為________.

設A(xA,yA),B(xB,yB),=2,1-xA=2(xB-1),又xAxB=1,xA=2,xB=,弦AB的中點到拋物線準線的距離為+1=+1=.

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