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六合图库网站:2018屆高三數學(理)二輪復習課件:第1部分 專題7 第1講 坐標系與參數方程(選修4-4)

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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 題組突破 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 題組突破 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 題組突破 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 誤區警示 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 考點二  參數方程 方法結論 考點二  參數方程 方法結論 考點二  參數方程 方法結論 題組突破 考點二  參數方程 題組突破 考點二  參數方程 題組突破 考點二  參數方程 題組突破 考點二  參數方程 題組突破 考點二  參數方程 題組突破 考點二  參數方程 誤區警示 考點二  參數方程 考點三 極坐標方程與參數方程的綜合應用 考點三 極坐標方程與參數方程的綜合應用 考點三 極坐標方程與參數方程的綜合應用 類題通法 考點三 極坐標方程與參數方程的綜合應用 演練通關 演練通關 演練通關 演練通關 * * * * * * * * * * 專題七   系列4選講  第一講 坐標系與參數方程(選修4-4) 熱點聚焦  題型突破 限時規范訓練 高考體驗  真題自檢 目  錄 ONTENTS 考情分析 1 考情分析 1 考情分析 1 考情分析 1 真題自檢 2 真題自檢 2 真題自檢 2 2 真題自檢 2 真題自檢 2 真題自檢 2 真題自檢 2 真題自檢 2 真題自檢 2 真題自檢 2 真題自檢 方法結論 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 方法結論 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 方法結論 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 題組突破 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 題組突破 考點一 簡單曲線的極坐標方程及應用 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1.(2017·高考全國卷)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos θ=4.
(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;
(2)設點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.
解析:(1)設P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0).
由題設知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標方程為ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)設點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0),
由題設知|OA|=2,ρB=4cos α,于是OAB面積
S=|OA|·ρB·sinAOB=4cos α·|sin|
=2|sin-|≤2+.
當α=-時,S取得最大值2+.
所以OAB面積的最大值為2+.
2.(2016·高考全國卷)在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.
(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;
(2)直線l的參數方程是(t為參數),l與C交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率.
解析:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標方程為ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)法一:由直線l的參數方程(t為參數),
消去參數得y=x·tan α.
設直線l的斜率為k,則直線l的方程為kx-y=0.
由圓C的方程(x+6)2+y2=25知,圓心坐標為(-6,0),半徑為5.
又|AB|=,由垂徑定理及點到直線的距離公式得=
,即=,
整理得k2=,解得k=±,
即l的斜率為±.
法二:在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ=α(ρR).
設A,B所對應的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcos α+11=0,
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.
由|AB|=得cos2 α=,tan α=±.
所以l的斜率為或-.
3.(2016·高考全國卷)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(t為參數,a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ.
(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;
(2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中 α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.
解析:(1)消去參數t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2,則C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.
將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組

若ρ≠0,由方程組得16 cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,
從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,且在C3上.
所以a=1.
4.(2016·高考全國卷)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(α為參數).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin=2.
(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;
(2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.
解析:(1)C1的普通方程為+y2=1,C2的直角坐標方程為x+y-4=0.
(2)由題意,可設點P的直角坐標為(cos α,sin α).
因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值,
d(α)==,
當且僅當α=2kπ+(kZ)時,d(α)取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為.
1.圓的極坐標方程
若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r,則圓的方程為:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
幾個特殊位置的圓的極坐標方程:
(1)當圓心位于極點,半徑為r:ρ=r;
(2)當圓心位于M(a,0),半徑為a:ρ=2acos θ;
(3)當圓心位于M,半徑為a:ρ=2asin θ.
2.直線的極坐標方程
若直線過點M(ρ0,θ0),且極軸與此直線所成的角為α,則它的方程為:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
幾個特殊位置的直線的極坐標方程:
(1)直線過極點:θ=θ0和θ=π+θ0;
(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸:ρcos θ=a;
(3)直線過M且平行于極軸:ρsin θ=b.
3.極坐標與直角坐標的互化方法

點M	直角坐標(x,y)	極坐標(ρ,θ)		互化
公式				
1.(2017·太原模擬)在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為ρcos=1,M,N分別為C與x軸,y軸的交點.
(1)寫出C的直角坐標方程,并求M,N的極坐標;
(2)設MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.
解析:(1)由ρcos=1,得ρ=1.因為所以C的直角坐標方程為x+y=1,
即x+y=2.
當θ=0時,ρ=2,所以M(2,0).
當θ=時,ρ=,所以N.
(2)由(1)可知M點的直角坐標為(2,0),N點的直角坐標為.
所以P點的直角坐標為,
則P點的極坐標為.
所以直線OP的極坐標方程為θ=,ρ(-∞,+∞).
2.(2017·西安模擬)已知曲線C:ρ=,直線l:ρ(cos θ-sin θ)=12.
(1)求直線l和曲線C的直角坐標方程;
(2)設點P在曲線C上,求到直線l的距離最小的點P的坐標.
解析:(1)由ρ=,得8ρ2sin2θ+ρ2=27,8y2+x2+y2=27,即+=1.
由ρ(cos θ-sin θ)=12,得ρcos θ-ρsin θ-12=0,即x-y-12=0.
(2)設點P(3cos θ,sin θ),點P到直線l的距離d==
=3,若點P到直線l的距離最小,則θ=-,此時點P.
1.極坐標方程與直角坐標方程互化時注意等價性.
2.在極坐標系中,若極角θR,則任一點的極坐標不唯一.
幾種常見曲線的參數方程
(1)圓
以O′(a,b)為圓心,r為半徑的圓的參數方程是其中α是參數.
當圓心在(0,0)時,方程為其中α是參數.
(2)橢圓
橢圓+=1(a>b>0)的參數方程是其中φ是參數.
橢圓+=1(a>b>0)的參數方程是其中φ是參數.
(3)直線
經過點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數方程是其中t是參數.
1.(2017·高考全國卷)選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(θ為參數),直線l的參數方程為(t為參數).
(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l距離的最大值為,求a.
解析:(1)曲線C的普通方程為+y2=1.
當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0,
由解得或
從而C與l的交點坐標為(3,0),.
(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離為d=.
當a≥-4時,d的最大值為 .由題設得=,所以a=8;
當a<-4時,d的最大值為.由題設得=,所以a=-16.
綜上,a=8或a=-16.
2.(2017·惠州模擬)已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cos θ.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數方程是(t為參數).
(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,且|AB|=,求直線l的傾斜角α的值.
解析:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.
x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
曲線C的直角坐標方程為x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.
(2)將代入曲線C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化簡得t2-2tcos α-3=0.
設A,B兩點對應的參數分別為t1,t2,則.
∴|AB|=|t1-t2|===,
4cos2α=2,cos α=±,α=或.
對于直線l的參數方程(t為參數)
易忽視只有滿足a2+b2=1時t才有幾何意義.
[典例] (2017·貴陽模擬)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(其中t為參數),以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2sin θ.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;
(2)若A,B分別為曲線C1,C2上的動點,求當AB取最小值時AOB的面積.
解析:(1)由得C1的普通方程為(x-4)2+(y-5)2=9,由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ,
將x2+y2=ρ2,y=ρsin θ代入上式得C2的直角坐標方程為x2+(y-1)2=1.
(2)如圖,當A,B,C1,C2四點共線,且A,B在線段C1C2上時,|AB|取得最小值,

由(1)得C1(4,5),C2(0,1),
kC1C2==1,則直線C1C2的方程為x-y+1=0,
點O到直線C1C2的距離d==,
又|AB|=|C1C2|-1-3=-4=4-4,
S△AOB=d|AB|=××(4-4)=2-.
化參數方程為普通方程的基本思路是消去參數,常用的消參方法有代入消參法、加減消參法、恒等式(三角的或代數的)消參法;極坐標方程與直角坐標方程的互化主要是用好“公式”.一般與極坐標方程和參數方程有關的問題多采用化為直角坐標方程的方法,結合圖形,合理轉化,加以求解.
1.(2017·沈陽模擬)在直角坐標系xOy中,直線l:y=x,圓C:(φ為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求直線l與圓C的極坐標方程;
(2)設直線l與圓C的交點為M,N,求CMN的面積.

(1)將C的參數方程化為普通方程,得(x+1)2+(y+2)2=1,
x=ρcos θ,y=ρsin θ,直線l的極坐標方程為θ=(ρR),
圓C的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0.
(2)將θ=代入ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0,得ρ2+3ρ+4=0,解得ρ1=-2,ρ2=-,|MN|=|ρ1-ρ2|=,
圓C的半徑為1,CMN的面積為××1×sin =.
2.(2017·高考全國卷)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數方程為(t為參數),直線l2的參數方程為(m為參數).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程;
(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.
解析:(1)消去參數t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
設P(x,y),由題設得消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0).
(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
聯立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,從而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點M的極徑為.
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