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六合全集六合图库:2018屆高三數學(理)二輪復習課件:第2部分 專題2 數學傳統文化的創新應用問題

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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 考點二  數列中的數學文化題 考點二  數列中的數學文化題 考點二  數列中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點三 算法中的數學文化題 考點四 概率統計中的數學文化題 考點四 概率統計中的數學文化題 考點四 概率統計中的數學文化題 考點四 概率統計中的數學文化題 考點五 三角函數中的數學文化題 考點五 三角函數中的數學文化題 考點五 三角函數中的數學文化題 考點五 三角函數中的數學文化題 考點六 不等式中的數學文化題 考點六 不等式中的數學文化題 考點六 不等式中的數學文化題 考點七 解析幾何中的數學文化題 考點七 解析幾何中的數學文化題 考點七 解析幾何中的數學文化題 考點七 解析幾何中的數學文化題 考點七 解析幾何中的數學文化題 * * * 專題二  數學傳統文化的創新應用問題 傳統文化訓練 高考命題動向,重視數學文化 目  錄 ONTENTS 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點一 立體幾何中的數學文化題 考點二  數列中的數學文化題 考點二  數列中的數學文化題 考點二  數列中的數學文化題 考點二  數列中的數學文化題 考點二  數列中的數學文化題 考點二  數列中的數學文化題 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 預測1:古代數學書籍《九章算術》《數書九章》等書為背景的數學文化類題目.
預測2:與高等數學相銜接的題目,如幾類特殊的函數:取整函數、狄利克雷函數、符號函數.
預測3:以課本閱讀和課后習題為背景的數學文化類題目:輾轉相除法、更相減損術、秦九韶算法、二進制、割圓術、阿氏圓等.
預測4:以中外一些經典的數學問題為背景的題目.如:回文數、匹克定理、哥尼斯堡七橋問題、四色猜想等經典數學小問題.
[例1] 《九章算術》商功章有題:一圓柱形谷倉,高1丈3尺3寸,容納米2 000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛為容積單位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),則圓柱底面圓周長約為(  )
A.1丈3尺   	B.5丈4尺
C.9丈2尺 	D.48丈6尺
[思路分析] 根據圓柱的體積公式,結合題中圓柱的體積和高以及有關單位的數據計算出圓柱的底面半徑,再根據圓的周長公式,計算出圓柱底面圓周長.
解析:設圓柱底面圓半徑為r尺,高為h尺,依題意,圓柱體積為V=πr2h=2 000×1.62≈3×r2×13.33,所以r2≈81,即r≈9,所以圓柱底面圓周長為2πr≈54,54尺=5丈4尺,則圓柱底面圓周長約為5丈4尺,故選B.
答案:B
[體會領悟] 本題屬于生活中谷物儲存問題,源于《九章算術》第五章“商功”,結合立體幾何中的基礎知識進行設問,強化了數學文化的傳承和數學應用意識的培養.我國古代數學強調“經世濟用”,涉及的研究大多與實際生活、生產聯系緊密,體現出明顯的問題式、綜合性的特征.立體幾何中幾何體體積公式是??寄諶?,例如2014年湖北卷第8題和2015年高考全國卷第6題考查圓錐的體積公式.
[例2] “牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優美的幾何體,它由完全相同的四個曲面構成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖1,圖2中四邊形是為體現其直觀性所作的輔助線,當其正視圖和側視圖完全相同時,它的正視圖和俯視圖分別可能是(  )
[思路分析] 觀察題目所給直觀圖,理解題干中有關“牟合方蓋”的特征敘述,結合“當其正視圖和側視圖完全相同時”這個關鍵條件作答.
解析:當正視圖和側視圖完全相同時,“牟合方蓋”相對的兩個曲面正對前方,正視圖為一個圓,俯視圖為一個正方形,且兩條對角線為實線,故選A.
答案:A

[體會領悟] “牟合方蓋”是我國古代利用立體幾何模型和數學思想方法解決數學問題的代表之一.本題取材于“牟合方蓋”,通過加工改造,添加解釋和提供直觀圖的方式降低了理解題意的難度.解題從識“圖”到想“圖”再到構“圖”,考生要經歷分析、判斷的邏輯過程.另外,我國古代數學中的其他著名幾何體,如“陽馬”“鱉”和“塹堵”等的三視圖問題都有可能在高考中考查.
[例3] 我國南北朝時期數學家、天文學家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高,意思是兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積相等.已知某不規則幾何體與如圖所對應的幾何體滿足“冪勢同”,則該不規則幾何體的體積為(  )
[思路分析] 根據題設所給的三視圖,想象出圖中所對應幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱,再根據祖
解析:由祖,該不規則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等.根據題設所給的三視圖,可知圖中的幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱,正方體的體積為23=8,半圓柱的體積為×(π×12)×2=π,因此該不規則幾何體的體積為8-π,故選C.
答案:C
 [體會領悟] 祖,祖,要比其他國家的數學家早一千多年.人民教育出版社《數學必修2》(A版)第30頁“探究與發現”中專門介紹了祖本題取材于祖,考查幾何體的三視圖和體積計算,既檢測了考生的基礎知識和基本技能,又展示了中華民族的優秀傳統文化.
 [例4] 《九章算術》是我國古代的數學名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等.問各得幾何?”其意思為:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位)這個問題中,甲所得為(  )
A.錢  B.錢
C.錢  D.錢
[思路分析] 讀懂題意,將古代實際問題轉化為現代數學問題,本題相當于已知等差數列{an}中,前5項和為5,a1+a2=a3+a4+a5,求a1.
解析:設等差數列{an}的首項為a1,公差為d,依題意有解得故選D.
答案:D
[體會領悟] 我國古代數學強調“經世濟用”,注重算理算法,其中很多問題可轉化為等差數列問題.
[例5] 中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數,請公仔細算相還.”其意思為:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,請問第二天走了(  )
A.192里 	B.96里
C.48里 	D.24里
[思路分析] 讀懂題意,將古代實際問題轉化為現代數學問題,本題相當于:已知等比數列{an}中,公比q=,前6項和S6=378,求a2.
解析:設等比數列{an}的首項為a1,公比為q=,依題意有= 378,解得a1=192,則a2=192×= 96,即第二天走了96里,故選B.
答案:B
[體會領悟] 與等差數列一樣,我國古代數學涉及等比數列問題也有很多,因此,涉及等比數列的數學文化題也頻繁出現在各級各類考試試卷中.解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現代數學問題,掌握等比數列的概念、通項公式和前n項和公式.
[例6] 意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發現有這樣的一列數:1,1,2,3,5,8,…,該數列的特點是:從第三個數起,每一個數都等于它前面兩個數的和,人們把這樣的一列數所組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”,則是斐波那契數列中的第________項.
[思路分析] 本題先根據題意明確該數列的遞推公式,再依據所給式子中項的特點把遞推公式恰當變形得出結論.
解析:依題意得a1=a2=1,an+2=an+1+an,an+1·an+2=a+anan+1,則a2 015a2 016=a+a2 014a2 015,a2 014·a2 015=a+a2 013a2 014,a2 013a2 014=a+a2 012a2 013,…,a2a3=a+a1a2,
又a=a1a2,因此a2 015a2 016=a+a+a+…+a+a,
即=a2 016,即是斐波那契數列中的第2 016項.
答案:2 016
[體會領悟] 該題的命制以人民教育出版社《數學必修5》(A版)第32頁“閱讀與思考”中的“斐波那契數列”為背景,考查考生靈活處理遞推數列問題的能力和轉化與化歸能力.斐波那契數列有很多有趣的性質,在實際生活中也有廣泛應用.在高考中,也曾經很多次考查斐波那契數列問題.
[例7] 如圖所示程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執行該程序框圖,若輸入的a,b分別為8,12,則輸出的a=(  )

A.4 B.2C.0 	D.14
[思路分析] 讀懂程序框圖,按程序框圖依次執行即可.
解析:由程序框圖輸入的a=8,b=12,按程序框圖所示依次執行,可得b=12-8=4,a=8;a=8-4=4,b=4,a=b,所以輸出a=4.故選A.
答案:A
[體會領悟] 《九章算術》系統總結了我國古代人民的優秀數學思想,開創了構造算法以解決各類問題的東方數學發展的光輝道路,這與當今計算機科學的飛速發展對數學提出的要求不謀而合.本題程序框圖的算法思路源于《九章算術》中計算兩個正整數的最大公約數的“更相減損術”算法,2015年高考全國卷第8題也是此類問題.
 [例8] 秦九韶是我國南宋時期的數學家,普州安岳(現四川省安岳縣)人,他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法,如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入n,x的值分別為4,3,則輸出v的值為(  )

A.20 B.61C.183 	D.548
[思路分析] 讀懂程序框圖,按程序框圖依次執行即可.
解析:初始值n,x的值分別為4,3,程序運行過程如下:
v=1,i=3≥0,v=1×3+3=6,i=2≥0;
v=6×3+2=20,i=1≥0;
v=20×3+1=61,i=0≥0;
v=61×3+0=183,i=-1<0,結束循環,此時輸出v的值為183.故選C.
答案:C
[體會領悟] 秦九韶算法是一種將一元n次多項式的求值問題轉化為n個一次式的求值問題的算法.其大大簡化了計算過程,即使在現代,利用計算機解決多項式的求值問題時,秦九韶算法依然是最優的算法.本題程序框圖的算法思路源于《數書九章》中多項式求值的“秦九韶算法”.
[例9] 公元263年左右,我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創立了“割圓術”,利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出n的值為________.(參考數據:sin15°≈0.258 8,sin 7.5°≈0.130 5)
[思路分析] 讀懂程序框圖,按程序框圖依次執行即可.
解析:n=6,S=×6×sin 60°=≈2.598<3.1,不滿足條件,進入循環;n=12,S=×12×sin 30°=3<3.1,不滿足條件,繼續循環;n=24,S=×24×sin 15°≈12×0.258 8=3.105 6>3.1,滿足條件,退出循環,輸出n的值為24.
答案:24
[體會領悟] 更相減損術、秦九韶算法和割圓術分別在人民教育出版社《數學必修3》(A版)第36頁,第37頁,第45頁“算法案例”中出現.其中更相減損術和秦九韶算法分別在2015年和2016年高考全國卷中考過,因此以后全國卷考查割圓術的可能性較大.
[例10] 歐陽修的《賣油翁》中寫到:“(翁)乃取一葫蘆,置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕.”可見“行行出狀元”,賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為3 cm的圓,中間有邊長為1 cm的正方形孔,若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計),則正好落入孔中的概率是________.
[思路分析] 將實際問題轉化為數學中的幾何概型問題,關鍵是要求出銅錢的面積和中間正方形孔的面積,然后代入幾何概型計算公式進行求解.
解析:依題意,所求概率為P==.
答案:
[體會領悟] 從中國古代文學作品中選取素材考查數學問題,豐富了數學文化題的取材途徑.試題插圖的創新是本題的一個亮點,其一,增強了數學問題的生活化,使數學的應用更貼近考生的生活實際;其二,有利于考生分析問題和解決問題,這對穩定考生在考試中的情緒和心態起到了較好的效果;其三,探索了數學試題插圖的新形式,給出了如何將抽象的數學問題直觀化的范例.
[例11] 第24屆國際數學家大會會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的.如圖,會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較大的銳角為θ,那么tan (θ+)=________.

[思路分析] 本題先根據題意確定大、小正方形的邊長,再由直角三角形中銳角的三角函數值確定角θ滿足的條件,由此依據相關的三角函數公式進行計算即可.
解析:依題意得大、小正方形的邊長分別是5,1,于是有5sin θ-5cos θ=1(0<θ<),即有sin θ-cos θ=.從而(sin θ+cos θ)2=2-(sin θ-cos θ)2=,則sin θ+cos θ=,因此sin θ=,cos θ=,tan θ=,故tan(θ+)==-7.
答案:-7
[體會領悟] 1 700多年前,趙爽繪制了極富創意的弦圖,采用“出入相補”原理使得勾股定理的證明不證自明.該題取材于第24屆國際數學家大會會標,題干大氣,設問自然,流露出豐富的文化內涵.既巧妙地考查了三角函數的相關知識,又豐富了弦圖的內涵,如正方形四邊相等寓言各國及來賓地位平等,小正方形和三角形緊緊簇擁在一起,表明各國數學家要密切合作交流,等等.
[例12] 設a>0,b>0,則為a,b的調和平均數.如圖,C為線段AB上的點,AC=a,CB=b,O為AB的中點,以AB為直徑作半圓.過點C作AB的垂線交半圓于D,連接OD,AD,BD.過點C作OD的垂線,垂足為E.則圖中線段OD的長度是a,b的算術平均數,線段CD的長度是a,b的幾何平均數,線段________的長度是a,b的調和平均數.
[思路分析] 將線段OD,CD融入相關直角三角形中,利用三角形相似進行計算,再結合調和平均數的定義即可得到正確結果.
解析:因為RtDEC∽Rt△DCO,所以=,從而DE=.依題意可得OD=,CD=,所以DE=,即線段DE的長度是a,b的調和平均數.
答案:DE
 [體會領悟] 早在4世紀,古希臘數學家帕波斯在其代表作《數學匯編》第3卷第2部分就給出了算術平均、幾何平均、調和平均三種平均數的理論.嵌入幾何意義考查不等式,凸顯經典數學名題的深邃內涵和命題專家的過人之處.
 [例13] 2016年1月14日,國防科工局宣布,“嫦娥四號”任務已經通過了探月工程重大專項領導小組審議通過,正式開始實施.如圖所示,假設“嫦娥四號”衛星將沿地月轉移軌道飛向月球后,在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行,之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長軸長,給出下列式子:
①a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;
<;c1a2>a1c2.
其中正確式子的序號是(  )

A.B.C.	D.
[思路分析] 注意到橢圓和共一個頂點P和一個焦點F,題目所給四個式子涉及長半軸長和半焦距,因此可以從橢圓的焦距入手求解.
解析:觀察圖形可知a1+c1>a2+c2,即式不正確;a1-c1=a2-c2=|PF|,即式正確;由a1-c1=a2-c2>0,c1>c2>0,知<,即<,從而c1a2>a1c2,>,即式正確,式不正確.故選D.
答案:D
[體會領悟] 命題者抓住“嫦娥奔月”這個古老而又現代的浪漫話題,以探測衛星軌道為背景,抽象出共一條對稱軸、一個焦點和一個頂點的兩個橢圓的幾何性質,并以加減乘除的方式構造兩個等式和兩個不等式,考查橢圓的幾何性質,可謂匠心獨運.本題對考生的數學能力進行了比較全面的考查,是一道名副其實的小中見大、常中見新、蘊文化于應用之中的好題.
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